Porque ainda tenho dúvidas...

Considerando a questão do axioma da regularidade em ZFC, ainda tenho algumas dúvidas, que podem ser expressas do seguinte modo:

Consideremos a seguinte convenção prévia: As sequências de chavetas equilibradas, em que primeiro elas todas abrem, para em seguida fecharem todas, como em { {{}} }, serão recodificadas de forma a que cada par de chavetas na sequência sejam representado por uma barras verticail, obtendo-se para representar o exemplo referido.

Consideremos agora conjuntos das ditas sequências.
Comecemos pelo conjunto { {} }. Tem um único elemento. Tem cardinal um. Pode ser recodificado para { }. A sequência de barras mais longa tem o cardinal do conjunto.

Consideremos agora o conjunto { {} {{}} }. Tem dois elementos. Tem cardinal dois. Pode ser recodificado para { }. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora o conjunto { {} {{}} {{{}}} }. Tem 3 elementos. Tem cardinal 3. Pode ser recodificado para { }. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora um conjunto finito { {} {{}} {{{}}} ...}. Tem n elementos. Tem cardinal n. Pode ser recodificado para { ...}. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora o conjunto infinito { {} {{}} {{{}}} ...}. Tem AlephZero elementos. Tem cardinal AlephZero . Pode ser recodificado para { ...}. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Será este último conjunto regular no sentido do axioma da regularidade de ZFC? Não pode ser, pois é possível encontrar um elemento, {{{...}}}, com um número AlephZero de chavetas.

Mas o conjunto anterior é uma representação do conjunto dos naturais.
Pelo que o conjunto dos naturais não é regular!!?
Portanto não é um conjunto no sentido de ZFC. Então para que é que serve a ZFC?

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O que parece ser o ponto mais crítico do raciocínio anterior é a passagem de n para AlephZero. Mas a alternativa implica construir um conjunto infinito só com elementos finitos do tipo .... De acordo com o exposto, não estou a ver como é possível construir desta forma um conjunto que seja infinito, e em que todos os seus elementos sejam finitos.

Este "monstro" tem sido difícil de esconjurar.